[Diagonalization][Eigendecomposition] 대각화와 아이젠디컴포지션

 

Eigendecomposition n*n크기의 정사각행렬 A matrix를 Diagonal matrix를 포함한 메트릭스의 곱으로 분해하는 방식이다.(iii)의 식)

이를 위해서는 A에 대한 대각화(Diagonalize)가 가능한가? 에 대한 질문부터 먼저 해야 한다.

i)의 식을 통해서 D를 구할 수 있는가? 즉, i)식에서, V는 역행렬이 존재해야 하며, D는 대각 성분을 제외하고 모두 다 0인 요소여야 한다.

 

여기에서 Eigenvector와 Eigenvalue의 개념이 나오는 이유는

ii)식과 관련이 있다. 우변을 보면, V를 각각의 람다배 한 값이다.

즉, A에 의해 선형변환한 V의 열벡터들은, 그 벡터의 방향은 보존된 채 크기만 변화하게 된다. 대각화가 eigenvector와 eigenvalue와 관련이 있다는 사실을 염두에 두자.

 

다시 대각화의 개념으로 넘어오자면, 대각화(Diagonalize)는 A의 양쪽에 V와 V^(-1)을 곱해서 만드는 것인데, A의 eigenvetor들을 모은 것이 정사각행렬이 아니라서 혹은 정사각행렬이지만, 서로 linearly independent하지 않아 역행렬을 구하기가 어려울 수 있다. 이 때, D를 구하기 힘들다고 판단할 수 있다. 정리하자면, A에 대한 대각화(Diagonalize)가 가능하려면 eigenvector들로 구성된 V가 A matrix의 크기만큼이어야 하며, V의 속한 eigenvector columns들은 서로 independent해야 한다. 이런 이유로, 모든 A가 대각화가 가능한 것이 아니며, 일부만 가능하게 된다.

 

대각화가 가능하다면, Eigendecomposition을 할 수 있다. iii)식 즉, n*n A matrix를 대각행렬Diagonal matrix을 포함한 메트릭스의 곱으로 분해할 수 있다. 분해할 수 있다는 것은 다음의 식으로 나타낼 수 있다. A matrix에 의해서 선형변환되는 벡터 x를 생각해보자. iii)식을 이용한다면, iv)식으로 표현할 수 있으며, iv)에서 가장 먼저 계산되는 부분을 벡터 공간에서 생각해보자면, x벡터를 V의 열벡터로 재구성한 선형결합한 계수값이라고 생각해볼 수 있다. V는 eigenvector들의 정렬된 것이므로, eigenvector들의 basis들을 기반으로 선형 결합의 계수값(V1, V2, ...들을 basis로 하는 좌표값)이다.