특성방정식

특성방정식Characteristic Equation은 n * n 크기의 정사각행렬 A의 특성을 밝혀가는 과정이다. 

이 방정식을 통해서, Eigenvector와 Eigenvalue를 구할 수 있다.

특히, 위의 그림에서 선형 변환 A에 의해서, 보통은 x의 방향과 크기가 모두 변하나 이 경우 벡터 x의 크기만 변하는 상태이다. 이를 만족하는 x와 스칼라 람다값은 각각 eigen vector, eigen value를 나타내며, 행렬의 연산량을 줄여주기 때문에 용이한 개념이기도 하다. 이때, 좌변으로 식을 정리하여, 우변은 원소가 0인 메트릭스로 만들면, 아래의 식이 나온다. 

이 때, 벡터 x가 모두 0인 해를 제외하는 해(non-trivial solution)를 가지기 위해서, 위의 식을 만족하기 위해서는 앞의 A-람다*I 메트릭스의 컬럼 벡터들이 의존적이여야dependent 한다. 앞의 항목이 의존적 dependent이기 위해서는 역행렬이 존재하지 않아야 하며, 이 때, 앞의 부분의 역행렬이 존재하지 않는 식을

특히, '특성 방정식' (Characteristic Equation)이라고 부른다.

 

이 특성 방정식을 통해서, 가능한 람다값, Eigenvalue값들을 구할 수 있다. Eigenvalue의 의미는, A 선형 변환에 의해서 벡터 x가 람다(Eigenvalue)배 만큼 늘어날 때의 그 몇 배만큼을 의미한다. 

한편, 위의 식은 이렇게도 해석할 수 있다. 빨간색 부분의 구해진 컬럼 벡터들이 서로 의존적이라면, 좌측의 행렬은 특정 행 벡터들(basis vector)의 span된 공간으로 표현될 수 있으며, 이 때, A의 열 백터의 차원수보다 적게 표현된다. 이 때, 이 특정 행 벡터(혹은 특정 행 벡터들)과 x의 관계는 서로 수직이어야 오른쪽 식에서의 영벡터를 만족하게 된다. 

이 때, x는 A-람다*I의 null space라고 부르며, A의 람다값에 따른 Eigenspace 라고도 표현된다. 또한, Eigenvector들이 이루는 공간을 Eigenspace이다. Eigenvector와 Eigenvalue의 관계식을 다시 상기시켜보면, 결국 A matrix의 선형 변환의 결과는 eigenvector가 머무는 Eigenspace에서 람다배 만큼을 확장시켜주는 선형변환이라고 생각해볼 수 있다.