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#Singular Vector Decomposition #특이값분해(2)Data miner/Linear Algebra 2019. 11. 25. 21:06728x90
SVD를 바로 구하는 알고리즘은 없으나, 보통 Eigendecomposition을 구하는 방식으로 우회하여 구할 수 있다고 한다.
Eigendecomposition은 정사각행렬에 대해서만 가능하므로, AA'(A의 transpose를 a'로 표현) 혹은 A'A으로 생각해보면
첫번째 등식에서 다음 등식으로 (SVD공식에 의해서)
두번째 등식에서 다음 등식으로 (Othonomal한 성질에 의해서, V의 transpose한 행렬은 V의 역행렬과 같다)
또한, Σ행렬의 전치행렬은 자기 자신이므로, UΣΣ'U' = UΣ^(2)U'가 된다.
i) 식과 ii)식의 마지막 부분 UΣ^(2)U'을 보면, 상당히 유사한 모습을 띄고 있다. 다시 한번 말하지만 U는 Othonomal행렬이므로, U' 와 U의 역행렬은 같다. 또한, 대각행렬의 곱 또한 대각행렬의 모습을 띄고 있다.
ii)식에서 우리는 다음과 같은 사실을 얻을 수 있다.
1) Eigendecomposition로 구해진 AA'(A의 transpose를 a'로 표현)의 SVD의 U와 V행렬은 Orthogonal한 Eigenvector들로 구성되어 있다.
2) Σ^(2) 의 대각행렬의 원소들은 모두 양수이어야 한다.
3) ii)에서 위와 아래의 식, 즉 AA'(A의 transpose를 a'로 표현)나 A'A로 구해진 Σ^(2)의 값은 서로 동일해야 한다.
1)-3)까지의 사실은, (AA')와 (A'A)가 대칭행렬이기 때문에 이러한 특성을 가지고 있다고 하는데...
이는 다음 포스팅에서!
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